「我是按照怎樣的數學觀從事教學？」
這問題其實與你所知道的：『什麼是數學？』息息相關。
你可以試著問大部份學過數學的人，很多人可能會立刻做出錯愕的表情，接著最常的答案就是：算數啦、幾何啦、代數、三角、微積分…等等。這些其實只是數學的一部份。數學始終是處於不斷的發展中，因此任何『外延式』的定義都不可能是完整的。不過在很長的時間內，人們往往把數學等同於『數學知識』的匯集。接著數學哲學有了邏輯主義、直覺主義與形式主義。【1】儘管他們的觀點不盡相同，但他們都對數學持靜止的觀點。
1940年後這個問題進入了一個停滯期，於是人們開始積極尋找新的思想，導致了由靜態的數學觀轉向動態的數學觀。籠統的說，就是數學不應簡單的被等同於『數學知識』的匯集，而應增加一種人類創造性的活動，一種實際的數學活動。數學是什麼？我個人認為就是數學本身中活生生的經驗。我所認知的數學活動中包含了：對象、個人的數學觀、方法、語言與模式。我在此大概分別探討，如下：
| 一、 | 簡單的說，數學活動中的對象主要是探討數量與圖形的關係；這些都是抽象思維的產物；而不是物質的對象。早期的人們主要是通過觀察或實驗、並依靠對於經驗事實的歸納來獲得了關於真實事物或現象量性屬性的某些認識；但從現今的觀點來看，這只能說是一種經驗的知識而不能被看成是真正的數學知識，因為數學知識應當是關於抽象的數學對象進行研究的。舉例來說：〝三角形〞具有什麼性質？〝圓〞具有什麼性質？並非是只某些〝三角形或圓的事物〞具有什麼性質？點沒有大小…. ，等等。 |
| 二、 | 我們的數學觀建築在數學的『經驗性』與『擬經驗性』。『經驗性』為人類實踐數學活動的認識提供了最基本的泉源。這也是數學與自然科學的相似處。然而與科學不同的是數學中用於檢驗的『命題』並非通常下的『觀察報告』，而是數學中的事實，亦即是證明或計算的結果，這就是所謂的『擬經驗性』。所以有些數學家認為我們可以把數學說成是一門『實驗科學』。
挨爾米特在致有人的一封信寫到：「你在信裡告訴我：我越是思索這些事情，我就越認識到，數學像其他科學一樣，是一門『實驗科學』。你在信裡的這看法，我說，也正是我的看法。…」 |
| 三、 | 數學的方法，包括了計算方法、發現方法和證明方法等。事實上數學中各個獨立的分支往往都具有自己的特殊方法。例如初等幾何中的綜合法，初等代數中的符號方法(求解問題中的『笛卡兒模式』)，微積分理論中的極限方法等。 另外一些新的數學分支就是由於創立 ( 或引進 ) 新的研究方法才得以建立，例如解析幾何、代數幾何、微分幾何等。 |
| 四、 | 沒有數學這門語言，事物間大多數密切的類似關係將永遠不會被我門發現；我們也無從發現世界內部的和諧。 H. Poincare
因為這些密切的類似關係若用普通字句是說不精確的或過於糾纏的，所以 除了代數語言，十進制、標誌著從常量數學生到變量數學的極限語言都是很好的例子。 |
| 五、 | 一個好問題應當具有普遍的意義，應當能夠反應一類問題的共同特性，也即是一種模式。數學的概念、命題(理論)、方法亦是；例如古希臘人曾創造過一些對某些特殊曲線進行研究的特殊方法，然而這些方法不具普遍的意義，從而對數學沒能產生真正的影響。相較之下《幾何原本》的公理化方法就鉅有時分普遍的意義，也即是一種重要的方式。所以數學亦可說是：『模式的科學』。學生是否已掌握了相應的數學知識，其關鍵就在他是否由經驗的認識總結出了相應的模式，從而能夠有效的應用到新的類似問題上。
最後，R.Andree更將數學的概念放大到：對結構的分析。他說：「結構可能是代數的、數系的、經濟的或生物系統的。分析的對象則正是這些結構。只要你無論對什麼事情的基本結構做了真正的、漂亮的分析，那麼你就是在做漂亮的數學。」綜合以上所有，難怪有人說，數學培養智力並使之敏銳。 |
【1】可參見夏基松、鄭毓信：《西方數學哲學》，人民出版社，1986年。